2-4- مدل‌های شکنندگی برای داده‌های بقای چندمتغیره 28

2-5- برآورد پارامترهای مدل شکنندگی مشترک کاکس با استفاده از الگوریتم … 31

2-6- مدل‌های شکنندگی همبسته. 33

2-7- مدل‌های شفایافته. 37

2-7-1- آزمون وجود افراد مصون. 43

2-7-2- آزمون کافی بودن پیگیری.. 43

8-2- تحلیل بقا طولانی مدت با مدل شکنندگی.. 44

2-8-1- مدل‌های شفایافته شکنندگی یک‌متغیره 44

2-8-2- مدل‌های شفایافته شکنندگی دومتغیره 46

3- فصل سوم: مقدمه‌ای بر رویکرد بیزی و روش‌های عددی مونت کارلوی زنجیر مارکوفی.. 52

3-1- مقدمه. 52

3-2- استنباط بیزی.. 53

3-3- روش‌های مونت کارلو. 55

3-4- روش‌های مونت کارلوی زنجیر مارکوفی.. 57

3-4-1- نمونه‌گیری گیبس… 59

3-4-2- الگوریتم متروپولیس… 60

3-4-3- نمونه­گیری رد و پذیرش… 61

3-4-4- روش باز نمونه­گیری از نقاط مهم. 62

3-4-5- نمونه­گیری ردی سازوار. 63

3-5- روش­های تشخیص همگرایی.. 63

3-5-1- آماره گلمن-روبین.. 64

3-5-2- آماره گویک… 65

3-6- مقایسه بیزی مدل‌ها 66

 

3-6-1- معیار اطلاع بیزی.. 67

3-6-2- عامل بیزی.. 67

3-6-3- معیار میانگین پسین انحراف… 73

3-6-4- معیار اطلاع کیبش… 74

4- فصل چهارم: تحلیل بیزی مدل‌های شکنندگی همبسته کاکس و شفایافته. 76

4-1- مقدمه. 76

4-2- مدل شکنندگی همبسته کاکس… 81

4-2-1- توزیع شرطی کامل .. 84

4-2-2- توزیع شرطی کامل .. 89

4-2-3- توزیع شرطی کامل . 90

4-2-4- توزیع شرطی کامل . 91

4-2-5- توزیع شرطی کامل ضرایب رگرسیونی رگرسیون .. 92

4-2-6- توزیع شرطی پارامترهای خطر مبنا . 93

4-3- مدل­های شکنندگی شفایافته. 94

4-3-1- تابع درستنمایی مدل­های شکنندگی همبسته شفایافته (با و بدون زمان پیشرفت) 96

4-3-2- توزیع شرطی کامل پارامترهای مدل شکنندگی همبسته شفایافته. 98

4-3-3- توزیع شرطی کامل پارامترهای مدل شکنندگی همبسته شفایافته با زمان پیشرفت… 99

4-4- شبیه­سازی.. 100

4-4-1- مدل شکنندگی همبسته کاکس… 101

4-4-2- مدل شکنندگی همبسته شفایافته. 106

4-4-3- مدل شکنندگی همبسته شفایافته با زمان پیشرفت… 110

5- فصل پنجم: بحث و نتیجه­گیری.. 115

فهرست جداول

جدول ‏4–1: مقایسه مقادیر واقعی و مقادیر برآورد شده در  مدل شکنندگی همبسته کاکس… 102

جدول ‏4–2: مقایسه مقادیر واقعی و مقادیر برآورد شده در مدل شکنندگی همبسته شفایافته. 106

جدول ‏4–3: مقایسه مقادیر واقعی و مقادیر برآورد شده در مدل شکنندگی همبسته شفایافته با زمان پیشرفت.. 110

جدول ‏4–4: معیار اطلاع انحرافی برای مدل­های شکنندگی همبسته کاکس و شفایافته با توزیع خطر نمایی تکه­ای.. 114

فهرست شکل­ها

شکل ‏1–1:  زمان بقا 3

شکل ‏1–2 منحنی بقا 8

یک مطلب دیگر :

شکل ‏3–1: تابع لگ مقعر. 63

شکل ‏4–1: نمودارهای تابع چگالی حاشیه­ای پسین بر اساس 10 هزار نمونه شبیه­سازی شده 103

شکل ‏4–2: نمودار اثر مقادیر شبیه­سازی شده بر اساس یک زنجیر با 10 هزار تکرار. 104

شکل ‏4–3: نمودار خودهمبستگی بر اساس 10 هزار نمونه شبیه­سازی شده 105

شکل ‏4–4: نمودارهای تابع چگالی حاشیه­ای پسین بر اساس 10 هزار نمونه شبیه­سازی شده 107

شکل ‏4–5: نمودار اثر مقادیر شبیه­سازی شده بر اساس یک زنجیر با 10 هزار تکرار. 108

شکل ‏4–6: نمودار خودهمبستگی بر اساس 10 هزار نمونه شبیه­سازی شده 109

شکل ‏4–7: نمودارهای تابع چگالی حاشیه­ای پسین بر اساس 10 هزار نمونه شبیه­سازی شده 111

شکل ‏4–8: نمودار اثر مقادیر شبیه­سازی شده بر اساس یک زنجیر با 10 هزار تکرار. 112

شکل ‏4–9: نمودار خودهمبستگی بر اساس 10 هزار نمونه شبیه­سازی شده 113

چکیده

عوامل خطر ناشناخته و یا غیر قابل اندازه­گیری در تحلیل بقا، باعث کم­برآوردی برآوردهای رگرسیون در مدل­های خطر می­گردند. برای رفع این مسئله یک متغیر تصادفی به نام اثر شکنندگی به عنوان نماینده عوامل خطر ناشناخته، به صورت ضربی در مدل خطر وارد می­کنند و مدل­های خطر اصلاح شده را مدل­های شکنندگی می­نامند. همچنین گاهی در تحلیل  داده­های بقا افراد با بقا طولانی مدت حضور دارند که در این­گونه از داده­ها بعضی از افراد جامعه با گذشت زمان هرگز پیشامد مورد نظر را تجربه نمی­کنند. به عنوان مثال همه افراد عضو پیوندی را دفع نمی­کنند. لذا مدل­های شفایافته به منظور تحلیل داده­ای بقا با چنین ویژگی­هایی ارائه گردید. در تحلیل بقا مدل­های شفایافتگی در دو دسته کلی 1- مدل­های شفایافتگی آمیخته 2- مدل­های شفایافتگی ناآمیخته ارائه شده­اند. در پایان­نامه حاضرهدف ما ارائه مدلی می­باشد که در آن علاوه بر نسبت شفایافتگی، عوامل خطر ناشناخته را نیز در نظر می­گیرد. در این پایان نامه مدل شکنندگی کاکس، مدل شکنندگی همبسته شفایافته و مدل شکنندگی همبسته شفایافته با زمان پیشرفت را ارائه خواهیم کرد. لازم به ذکر است که در این سه مدل توزیع شکنندگی مشترک گاما را استفاده خواهیم کرد. در ادامه برای هر سه مدل ارائه شده رهیافت بیزی را به کار بسته و با در نظر گرفتن پیشین­های مناسب، در صورت امکان توزیع­های شرطی کامل هر یک از پارامترها را بدست خواهیم آورد. از آنجایی که توزیع­های شرطی کامل اکثر پارامترهای مدل دارای فرم پیچیده­ای می­باشد، برای برآورد پارامترهای مدل از روش­های مونت کارلوی زنجیر مارکوفی استفاده می­کنیم. در نهایت با استفاده از یک مثال شبیه سازی اعتبار برآوردهای بدست آمده و همچنین رهیافت بیزی به کارگرفته شده برای هر سه مدل را مورد ارزیابی قرار داده و نتایج حاصل با استفاده از معیار  در هر سه مدل مورد مقایسه قرار می­گیرد.

Abstract

Unknown hazard or non-measurable factors in survival analysis, cause underestimation in regression estimate in hazard models. To solve this problem, a random variable called frailty multiplicatively is enter to the model as representative of unknown hazard factor and this modified model calls frailty model. Also, sometimes in survival data analysis, there are people with longer survival which in these kinds of data, some people of population do not experience any of target events as time goes on. For instance, all people do not experience the rejection of transplantation organism. So, cure models are represented to analyze this kind of data. In survival analysis, cure models are presented in two categories: 1- mixture cure models and 2- non-mixture cure models. In this thesis, our goal is to present a model with that in addition to cure‘s ratio, consider the unknown hazard factors. In this part Cox frailty model, correlated cure frailty model, and correlated cure frailty model with time of progress will be represented. It should be mention that in these three models, common gamma frailty distribution is used. Then, for all three models, Bayesian approach is applied with regret to considering the appropriate prior distributions and conditional distribution is calculated, if it was possible, for each parameters. Since the complete conditional distribution of most of the parameters has complicated form, Markov Chain Monte Carlo methods are used to estimate model’s parameters. Finally, the validity of estimations and the used Bayesian approach for all three models are obtain through using a simulation example and the results are compared by using DIC criterion.

1-1- مقدمه

یكی از انواع داده­ها كه مورد علاقه­ی شدید محققین است، اهمیت دادن به فاصله زمانی تا وقوع بعضی حوادث مانند مرگ و میر و غیره می­باشد، یعنی پرداختن و توجه نمودن به گروهی از افراد به طوری كه پس از مدتی برای هركدام از آن ها یك نقطه­ی زمانی به نام شكست یا وقوع حادثه تعریف می­گردد. شكست یا حادثه­ی مورد نظر می­تواند حداكثر یك بار برای هر فرد اتفاق افتد. به عنوان مثال، طول عمر یك ماشین صنعتی، اولین زمان مراجعه­ی یك اتومبیل نو به تعمیرگاه و غیره از جمله مواردی است كه می­تواند مصداق شكست یا واقعه­ی مورد نظر باشد. از آن جایی كه این روش­ها در ابتدا غالباً برای مطالعات مرگ و میر به كار برده می­شد و اصلاً بدین منظور طراحی گردیده بود، نام تجزیه و تحلیل زمان بقا بر آن نهاده شده است.

تحلیل بقا، مجموعه­ای از تکنیک­های آماری متنوع، جهت تحلیل متغیرهای تصادفی است که دارای مقادیر نامنفی می­باشند. نوعاً مقدار این متغیرهای تصادفی، زمان شکست یک مولفه فیزیکی (مکانیکی یا الکتریکی) و یا زمان مرگ یک واحد بیولوژیک (سلول، بیمار، حیوان و غیره) می­باشد. ممکن است این متغیر، زمان یادگیری یک مهارت باشد، یا حتی امکان دارد به زمان هیچ ارتباطی نداشته باشد. برای مثال، متغیر می تواند مبلغ پرداختی یک شرکت بیمه در وضعیت خاصی باشد.

در تحلیل داده­های بقا مسئله اصلی یافتن مدل مناسبی برای همبستگی زمان بقا با متغیرهای مختلف
می­باشد. لذا ابتدا زمان بقا را تعریف نموده سپس توابع بقا را معرفی می­نماییم.

در مطالعات کاربردی تنها وقوع پیشامد، نظیر مرگ، مدنظر نیست بلکه زمان وقوع نیز مطرح می­شود که به زمان بقا معروف است. به عبارت دیگر زمان بقا، یک متغیر تصادفی نامنفی است که فاصله­ی زمانی بین شروع و وقوع یک پدیده­ی خاص را اندازه­گیری می­کند.

اصولاً برای تعیین زمان بقا ، به سه عنصر اساسی نیاز است:

2-2-4- پیشگویی جاماسپ ……………………………………………………………………………………………………………….17

2-2-5- پیشگویی نوستراداموس ………………………………………………………………………………………………………..19

2-3- پیشینه فال…………………………………………………………………………………………………………………………………20

2-3-1- فال نیک…………………………………………………………………………………………………………………………………22

2-3-1-1- راه های رهایی از فال بد……………………………………………………………………………………………………24

2-3-2- تنوّع فال در باور اجتماعی ……………………………………………………………………………………………………25

2-3-2-1- فال حافظ………………………………………………………………………………………………………………………….30

2-4- طالع…………………………………………………………………………………………………………………………………………….36

2-4-1- پیشینۀطالع بینی ……………………………………………………………………………………………………………….. 37

2-4-2-انواع طالع بینی ………………………………………………………………………………………………………………………38

2-4-2-1- طالع بینی خورشیدی ………………………………………………………………………………………………………38

2-4-2-2-طالع بینی چینی ……………………………………………………………………………………………………………….38

2-4-3- تأثیر صور فلکی و بروج بر سرنوشت……………………………………………………………………………………..39

2-4-4-ابزار طالع بینی ……………………………………………………………………………………………………………………….42

2-5- بخت ………………………………………………………………………………………………………………………………………….44

2-6- استخاره ……………………………………………………………………………………………………………………………………..45

2-6-1- انواع استخاره …………………………………………………………………………………………………………………………47

2-6-1- 1- نماز استخاره ذات الرقاع…………………………………………………………………………………………………..47

2-6-1-2- استخاره تسبیح………………………………………………………………………………………………………………….48

2-6-1-3- استخاره به قرآن ……………………………………………………………………………………………………………….48

2-7- فال و استخاره از نظر سایر ادیان……………………………………………………………………………………………….49

2-7-1- فال نیک و استخاره در اسلام………………………………………………………………………………………………..50

2-8- امثال و حِکمِ فال واستخاره ……………………………………………………………………………………………………….53

فصل سوم: حوزۀ تحقیق

 

3- شرح و احوال و آثار شاعران برجسته …………………………………………………………………………………………….55

3-1- رودکی سمرقندی ………………………………………………………………………………………………………………………56

3-1-1- سبک رودکی …………………………………………………………………………………………………………………………56

3-1-2- آثار رودکی ……………………………………………………………………………………………………………………………57

3-2- فردوسی طوسی………………………………………………………………………………………………………………………….58

3-2-1- سبک فردوسی در شاهنامه …………………………………………………………………………………………………..58

3-2-2- تأثیر کواکب در اندیشه فردوسی ………………………………………………………………………………………….58

3-3- ناصر خسرو قبادیانی ………………………………………………………………………………………………………………….60

3-3-1 -سبک و شیوه ی سخن ناصر خسرو ……………………………………………………………………………………..61

3-3-2 –نجوم و ناصر خسرو ………………………………………………………………………………………………………………62

3-3-3- آثار علمی و ادبی حکیم قبادیانی …………………………………………………………………………………………62

3-4- سنائی غزنوی …………………………………………………………………………………………………………………………….63

3-4-1- سبک سنائی ………………………………………………………………………………………………………………………….63

3-4-2- آثار حکیم سنائی …………………………………………………………………………………………………………………..64

3-5- خاقانی شروانی …………………………………………………………………………………………………………………………..65

3-5-1-سبک وشیوۀ سخن خاقانی …………………………………………………………………………………………………….66

3-5-2- آثار خاقانی …………………………………………………………………………………………………………………………….66

3-6-حکیم نظامی گنجوی…………………………………………………………………………………………………………………..66

3-6-1- سبک نظامی ………………………………………………………………………………………………………………………….67

3-6-2-آثار نظامی ………………………………………………………………………………………………………………………………68

3- 7- مولانا …………………………………………………………………………………………………………………………………………68

3-7-1- سبک مولانا…………………………………………………………………………………………………………………………….69

3-2-7-2- آثار مولانا……………………………………………………………………………………………………………………………69

3-8- سعدی شیرازی ………………………………………………………………………………………………………………………….70

3-8-1-سبک سعدی ………………………………………………………………………………………………………………………….71

3-8-2- آثار سعدی …………………………………………………………………………………………………………………………….71

3-9- نَزاری قُهستانی ………………………………………………………………………………………………………………………….72

3-9-1-آثار نَزاری…………………………………………………………………………………………………………………………………72

3-10-حافظ شیرازی ………………………………………………………………………………………………………………………….73

3-10-1- سبک شعری حافظ ……………………………………………………………………………………………………………73

3-11- جامی ………………………………………………………………………………………………………………………………………75

3-11-1- سبک جامی ………………………………………………………………………………………………………………………..76

3-11-2-  آثار جامی ………………………………………………………………………………………………………………………….76

3-12- محتشم کاشانی ………………………………………………………………………………………………………………………77

3-12-1- شیوۀ سخن محتشم …………………………………………………………………………………………………………..77

3-12-2- آثار محتشم ………………………………………………………………………………………………………………………..78

3-13- وحشی بافقی …………………………………………………………………………………………………………………………..78

3-13-1-سبک وشیوۀ سخن وحشی…………………………………………………………………………………………………..79

یک مطلب دیگر :

3-13-2-آثار وحشی …………………………………………………………………………………………………………………………..79

3-14- بیدل دهلوی …………………………………………………………………………………………………………………………..80

3-14-1- سبک دهلوی ……………………………………………………………………………………………………………………..80

3-14-2- آثار دهلوی …………………………………………………………………………………………………………………………81

3-15- قآآنی ……………………………………………………………………………………………………………………………………….81

3-15-1- سبک وبیان قآآنی ………………………………………………………………………………………………………………82

3-15-2- آثار قآآنی ……………………………………………………………………………………………………………………………82

3-16- ملک الشعرای بهار …………………………………………………………………………………………………………………..83

3-16-1- سبک شعر ی بهار ………………………………………………………………………………………………………………83

3-16-2- ویژگی های شعری پارسی در دوره ی مشروطه ………………………………………………………………..84

3-16-3- آثار ملک شعرای بهار …………………………………………………………………………………………………………84

3-17- شهریار …………………………………………………………………………………………………………………………………….84

3-17-1- آثار شهریار …………………………………………………………………………………………………………………………85

3-18- فریدون مشیری ………………………………………………………………………………………………………………………85

3-18-1- سبک مشیری …………………………………………………………………………………………………………………….86

3-18-2- آثار مشیری ………………………………………………………………………………………………………………………..86

3- 19 –نادر نادر پور……………………………………………………………………………………………………………………………87

3-19-1- سبک نادرپور ………………………………………………………………………………………………………………………87

3-19-2- آثار نادر پور ………………………………………………………………………………………………………………………..88

فصل چهارم : داده های تحقیق

4-تجلّی فال واستخاره در شعر فارسی ……………………………………………………………………………………………….89

4-1- خاستگاه فال و استخاره …………………………………………………………………………………………………………….91

4-2- پیشگویی، اولین گام تفأل…………………………………………………………………………………………………………92

4-2-1- عوامل پیشگویی…………………………………………………………………………………………………………………….93

4 -2-2- ستاره شناسی ، نماد پیشگویی…………………………………………………………………………………………….94

4-3-شیوه های  پیشگویی باعلم ستاره شناسی…………………………………………………………………………………99

4-3-1- اختر شناسی تفألی…………………………………………………………………………………………………………………99

4-3-2-اختر شناسی زایچه ایی ( طالع بینی ) …………………………………………………………………………………..101

4-4- بخت ………………………………………………………………………………………………………………………………………..112

4-5- مُروا و مُرغوا در اشعار ……………………………………………………………………………………………………………..115

4-6- اقسام فال درشعر …………………………………………………………………………………………………………………….117

4-6-1-فال های روزهای هفته………………………………………………………………………………………………………….117

4-6-2- فال زدن به تولّد و مرگ………………………………………………………………………………………………………118

4-6-3- فال زدن به جانداران ( جغد ، کلاغ، کرم وشتر)…………………………………………………………………………………..121

4-6-4-  فال های اشیاء……………………………………………………………………………………………………………………………………….123

4-6-4-1  فال آینه………………………………………………………………………………………………………………………………………………..125

4-6-4-2  فال شانه………………………………………………………………………………………………………………………………………………..126

4-6-4-3  فال نخود……………………………………………………………………………………………………………………………………………….126

4-6-4-4  فال خاک یا ماسه……………………………………………………………………………………………………………………………….126

4-6-4-5  فال نامه…………………………………………………………………………………………………………………………………………………127

4-6-1-5-سایر فال ها ( فال گل ، شعله یا آتش ، حباب ) ……………………………………………………………………………… 127

 

 

4-7- تأکید شاعران برفال نیک………………………………………………………………………………………………………..129

4-8- فال های پُر کاربرد در اشعار …………………………………………………………………………………………………..133

4-8-1- فال مُصحف یا «استخاره »…………………………………………………………………………………………………133

4-8-1-1- فال تسبیح………………………………………………………………………………………………………………………137

4-8-2- «فال حافظ » ……………………………………………………………………………………………………………………..138

4-8-3- فال اعضای صورت  …………………………………………………………………………………………………………….140

4-8-3-1- فال چهره  ……………………………………………………………………………………………………………………..140

4-8-3-2- فال « چشم و گوش»……………………………………………………………………………………………………..144

4-8-3-3- فال « اشک»  ………………………………………………………………………………………………………………..145

4-8- 4- فال دست یا کف بینی ………………………………………………………………………………………………………145

4-8- 5- طالع بینی ………………………………………………………………………………………………………………………….146

4-9-فال و استخاره در اندیشۀ شاعران ……………………………………………………………………………………………149

فصل پنجم : نتیجه

5- نتیجه گیری ………………………………………………………………………………………………………………………………..154

منابع……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 

2-1-4. شواهد قرآنی تأویل.. 19

2-1-5. مستندات روایی تأویل.. 20

2-1-6. رابطه تأویل با تفسیر. 22

2-1-7. شرایط تأویل.. 22

2-1-8. ضرورت تأویل.. 23

2-2. هرمنوتیک… 23

2-2-1. تعریف لغوی هرمنوتیک… 24

2-2-2. مفهوم هرمنوتیک… 24

2-2-3. جدیدترین تعاریف از علم هرمنوتیک… 24

2-2-4. تاریخچه تأویل و هرمنوتیک در غرب… 25

2-2-5. تاریخچه تأویل یا هرمنوتیک در شرق.. 29

2-2-6. دیدگاه اهل تأویل در مشرق زمین.. 31

2-3. معتزله و ریشه آن. 32

 

2-3-1. تعالیم معتزله. 33

2-4 . معرفی فرقه اسماعیلیه. 35

2-4-1. اسامی دیگر فرقه اسماعیلیه در طول تاریخ.. 38

2-4-2. سایر اسامی که دشمنان این فرقه، به ایشان نسبت داده‏اند. 39

2-4-3. مراتب دعوت و عقول دهگانه نزد اسماعیلیان. 40

فصل سوم: شرح احوال، آثار و سبک ناصرخسرو قبادیانی

3-1. زندگی‏نامه و شرح حال حکیم ناصرخسرو قبادیانی.. 43

3-2. زندگی ناصرخسرو قبل و بعد از خواب و تحوّل فکری‏اش… 44

3-3. تحصیلات و محدودة اطلاعات ناصرخسرو. 45

3-4. تفکر و اندیشه ناصرخسرو. 46

3-5. سبک ناصرخسرو. 47

یک مطلب دیگر :

3-6. عقیده و مذهب ناصرخسرو. 50

3-7. آثار منظوم و منثور ناصرخسرو قبادیانی.. 50

3-7-1. آثار منظوم. 51

3-7-2. آثار منثور. 52

3-7-3. سایر آثار، کتب و رساله‏هایی که به ناصرخسرو نسبت داده‏اند. 54

فصل چهارم: بررسی و تحلیل تأویل‏ها در برخی از آثار ناصرخسرو قبادیانی

4-1 دیوان قصاید. 58

4-2. وجه دین.. 72

4-2-1. اندر اثبات قرآن و تأویل آن. 73

4-2-2. اندر تأویل قالوا إِنّا لِلّهِ و انّا إِلیهِ راجعون. 76

4-2-3. اندر تأویل صدقة گاو و صدقة‌ گوسفند. 77

4-3. زادالمسافرین.. 81

4-3-1. بیان پیوستگی نفس جزئی به نفس کلی.. 81

4-3-2. اندر ردّ بر اهل مذهب تناسخ.. 82

4-3-3. بیان چگونگی وحی و تفسیر آن. 82

4-4. جامع‏الحکمتین.. 83

4-4-1. اندر هیئت و خاصّه و رسم وحد. 83

4-4-2. قول متكلمان مذهب اعتزال. 84

4-4-3. اندر تعریف «من» 85

4-4-4. اندر هفت نور. 86

4-4-5. «ءانَّ اللهَ یَأمُرُ بِالعَدلِ و الاِحسانِ و ایتاءِ ذِی القُربی.» 87

فصل پنجم: نتیجه‏گیری

5-1. نتیجه‏گیری.. 90

استاد راهنما :

 

دکتر مجتبی بشردوست 

 

استاد مشاور:

 

دكتر شروین خمسه

 

2   معرفی موجک ها و توابع بلاک – پالس

1.2   موجک  ….………………………………………….……………  14

1.1.2    مقدمه وتاریخچه  ………………………………………………  14

2.1.2    معرفی پایه های موجک  …………………………………………  15

3.1.2    آنالیز تجزیه چند گانه   ………………..…………………  16

4.1.2    موجک ها  ……………………………………………………  20

5.1.2    رابطه دو مقیاسی  ………………………………………………  22

6.1.5    تقریب وپایداری پایه موجکی متعامد یکه  ……………………….…   28

7.1.2    خواص مطلوب موجک ها  ………………………………………  28

2.2     موجک چبیشف نوع دوم   …………..………..………………  30

1.2.2    چند جمله ای های چبیشف نوع اول  ………………………………  30

2.2.2    چند جمله ای های چبیشف نوع دوم  …………………….…………  31

3.2.2    موجک چبیشف نوع دوم  ………………………..………………  32

4.2.2    همگرایی در پایه های موجک چبیشف نوع دوم  ………………………  36

3.2     توابع بلاک – پالس   ……………………..………….………  38

1.3.2    مقدمه  …………………………………….…………………  38

2.3.2    تعریف توابع بلاک – پالس  ………………………………………  38

3.3.2    ویژگی های توابع بلاک – پالس  ……………………………….…  40

3   دیفرانسیل وانتگرال از مرتبه کسری

     1.3    مقدمه  ……………………………………………………………  44

 

2.3    تابع گاما  ……………………………………………..……………  45

1.2.3    تعریف تابع گاما  ………………………………………………  45

2.2.3    فاکتوریل مقادیر کسری  …………………………………………  46

3.3    انتگرال گیری از مرتبه کسری  ………………..………….……………  46

1.3.3    تعریف عملگر انتگرال  ………………………….………………  46

2.3.3    انتگرال از مرتبه طبیعی  ………………….………………………  47

3.3.3    انتگرال از مرتبه کسری  …………………………………………  47

4.3    مشتق از مرتبه کسری  ……………………..…………………………  48

1.4.3    قضیه اساسی حساب دیفرانسیل  …………………..………………  48

2.4.3    عملگر مشتق  …………………………………………………  49

3.4.3    مشتق مرتبه کسری  …………………………….………………  49

4.4.3    مشتق در حالت کاپتو  ……………………………..……………  50

4   حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولتری غیر خطی واز مرتبه کسری با استفاده ازموجک                                                                                چبیشف نوع دوم

     1.4    بیان مسئله  …………………………………………………………  53

2.4    ماتریس عملیاتی توابع بلاک- پالس برای محاسبه انتگرال  ……………………  54

3.4    ماتریس عملیاتی موجک چبیشف نوع دوم  ………..………………………  57

4.4    ماتریس عملیاتی انتگرال از مرتبه کسری موجک چبیشف نوع دوم  ……….……  59

5.4    تشکیل دستگاه معادلات غیر خطی بوسیله ماتریس های عملیاتی  ………………  61

6.4    تجزیه وتحلیل خطا  ……………………..………….………………  67

1.6.4   تابع خطای روش  ………………………………………………  67

2.6.4    تقریبی از خطای مطلق  ………………………..…………………  68

5   مثال ها و نتایج عددی

     1.5    مثال های عددی  ……………………………………………………  70

2.5    نتیجه گیری  …………………..……………………………………  76

کتاب نامه  …………………………………………….……………………  77

لیست جداول

1.5   مقایسه بین جواب واقعی و جواب در نقاط مختلف  …………….………………  74

2.5   محاسبه نرم -2 خطای مطلق  ………………………………………………  74

لیست تصاویر

 

یک مطلب دیگر :

1.2   زیر فضا های   ………………….…………………………………  21

2.2   تابع مقیاس موجک هار  …………………..………………………………  24

3.2   تابع تظزیف موجک مادر  …………………………………………………  24

4.2   اولین نسل از دختران  ………………………….…………………………  24

5.2   تابع مقیاس موجک کلاه  ……………………………………….…………  25

6.2   موجک کلاه  ……………………………………………………………  25

7.2   نمودار تقریب تابع   ………………………………….…………  27

8.2   تقریب تابع   …………………………….……………………  27

9.2   موجک چبیشف   ……………………………….…………………  33

10.2 موجک چبیشف   ………………………………….………………  34

11.2  موجک چبیشف   …………………………………………………  34

12.2  توابع بلاک- پالس به ازای   …………………………………………  39

13.2  تقریب تابع  به کمک توابع بلاک-پالس  ……………………………  42

1.5   جواب واقعی  و تقریب آن  ………….………………………  75

چکیده

حساب کسری، تعمیم مشتق وانتگرال از مرتبه غیر صحیح است که بطور گسترده در مسائل مهندسی و مدل های علمی مورد استفاده قرار گرفته است. در این پژوهش ما به توصیف مشتق از مرتبه کسری در حالت کاپوتو ، به منظور ارائه ماتریس عملیاتی انتگرال از مرتبه کسری موجک های چبیشف نوع دوم  پرداخته ایم و سپس با استفاده از روشی که بر اساس ماتریس عملیاتی موجک چبیشف نوع دوم است به حل عددی معادلات انتگرال – دیفرانسیل غیر خطی و از مرتبه کسری ولترا پرداخته ایم .

هدف اصلی این پژوهش این بوده که معادله انتگرال – دیفرانسیل را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل کند تا به سادگی حل گردند و نتایج عددی بدست آمده نشان می دهد که روش عددی انتخاب شده دقت لازم برای این منظور را داراست.

Abstract

Fractional calculus is an extension of derivatives and integrals to non-integer orders and has been widely used to model scientific and engineering problems. In this paper, we describe the fractional derivative in the Caputo sense and give the second Chebyshev wavelet (SCW) operational matrix of fractional integration. Then based on above results we propose the SCW operational matrix method to solve a kind of nonlinear fractional-order Volterra integro-differential equations. The main characteristic of this approach is that it reduces the integro-differential equations into a nonlinear system of algebraic equations.

Thus, it can simplify the problem of fractional order equation solving. The obtained numerical results indicate that the proposed method is efficient and accurate for this kind equations.

1 مقدمه و تاریخچه

نظریه معادلات انتگرال یکی از مهمترین شاخه های علم ریاضی  است . اصولاً اهمیت آن از لحاظ مسائل مقدارمرزی در تئوری معادلات با مشتقات جزیی است . معادلات انتگرال درعلوم فیزیک ،شیمی ،ریاضیات ،علوم فنی و….کاربردهای فراوانی دارد . به طور مثال می توان به معادلات پیچیده گرماوموج اشاره کرد که  ازجمله معادلات انتگرال در علم فیزیک می باشند . معادلات انتگرال برای سالهای زیادی است که درریاضی ظاهرشده اند زیرا مبدا آن به تئوری انتگرال فوریه برمی گردد .

اولین بار اصطلاح معادله ی انتگرال به وسیله ریموند^[1] پیشنهاد شد .لاپلاس^[2] در سال 1782 یک معادله انتگرال برای تابع  به صورت زیر ارائه داد:

فوریه^[3] در سال 1811 روی نظریه حرارت کار کرد و مقالاتی از خود بر جای گذاشت. آبل[4] نیز در سال 1823در مسئله ی خود که به مسئله ی مکانیکی آبل معروف است کاربرد معادلات انتگرال را مطرح کرد .در سال 1826 پواسن[5] در نظریه مغناطیس خود،نوعی معادله انتگرال را مطرح کرد .لیوویل به طور مستقل معادلات انتگرال خاصی را از سال 1832 به بعد حل کرد .پوانکاره در سال 1896 معادله انتگرالی را بدست آورد که متناظر با یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی و مربوط به حرکت موج بودوبه صورت زیر بود:

 

که البته فردهلم جهت بدست آوردن جواب های این معادله تحقیقات زیادی انجام داد .به هر حال ولترا اولین کسی بود که در اواخر قرن 19 نظریه عمومی معادلات انتگرال را ارائه داد . ارائه یک سمینار توسط  هولمگر در سال 1901 بر روی کارهای فردهلم علاقه هیلبرت[6] را برانگیخت و او در بسیاری از مسایل ریاضی فیزیک از معادلات انتگرال کمک گرفت وفرموله کردن مساله ی معادلات دیفرانسیل مقدار مرزی به صورت معادله انتگرال از کارهای مهم وی بوده است.

واز آن زمان به بعد تاعصرحاضرمعادلات انتگرال موضوع تحقیقات ریاضیدانان زیادی بوده است ،زیرا آنها به طور پیوسته به مسایل جدید وجالبی برخورد می کنند . قضایای فردهلم[7] ازقضایای بنیادی معادلات انتگرال هستند . از آنجا که این قضایاابتدا توسط فردهلم برای هسته های پیوسته ارائه شدندلیکن بعداً توسط افراد دیگری برای هسته های کلی تری تعمیم یافتند . لذا لازم است از کار کارلمن که در این راه نقش عمده ای داشته است یادنمود .

کاربرد معادلات انتگرال- دیفرانیسل به طور دایم در حال افزایش است مانند معادله فیشر در زیست شناسی یا معادلات انتگرال دیفرانسیلی که برای درونیابی معادلات گرما وموج کاربرد دارند.

برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل نیز روش های مختلفی وجود داردکه ازجمله می توان به روش های عددی ذکر نمود که در این پژوهش از روش عددی مبتنی بر توابع موجک وماتریس های عملیاتی آنها استفاده شده است.

روشهای طیفی خانواده ای بزرگ از روشهای حل معادلات عملگری می باشند که در دو دهه اخیر به طور وسیعی گسترش یافته اند . این روشها در حل مسائلی از علوم و مهندسی بسیار کارا و موثرند و قدمتی به اندازه درونیابی و بسط توابع دارند اولین الگوریتم روشهای طیفی درسال  1983 ارائه شد.