1-4-3 روش موج تخت و تقریب شبه‌پتانسیل………………………… 35

1-4-3-1 موج تخت……………………………………… 35

1-4-3-2 شبه پتانسیل…………………………………….. 38

1-5 نظریه هلمن- فاینمن…………………………………….. 42

فصل دوم: نظریه اختلال بس- ذره‌ای

2-1 مقدمه‌ای بر طیف‌نمایی‌های‌ نظری…………………………………….. 47

2-1-1 اختلال خارجی و تابع دیالکتریک………………………………………. 49

2-1-1-1 پاسخ خطی طیف اپتیكی…………………………………….. 51

2-1-2 طیف الکترونی در KS-DFT…………………………………….

2-2 شبه- ذرات و روش توابع گرین…………………………………….. 56

2-2-1 نمایش شبه- ذرات و تابع طیفی…………………………………….. 59

2-2-2 پنج ضلعی هدین…………………………………….. 60

2-2-3 تقریب GW………………………………………

2-3 روش بته- سالپیتر: معادله‌ی دو- ذره‌ای مؤثر……………………….. 66

2-3 -1 اجزاء و تقریب‌های BSE……………………………………..

فصل سوم: مطالعه ساختار الكترونی نانو صفحه تك لایه و دو لایه شش­ضلعی بورن- نیترید

3-1 خواص ساختاری و الكترونی دو لایه شش‌ضلعی بورن- نیترید………… 78

3-2 مدل بستگی قوی برای تك لایه و دو لایه بورن- نیترید…………………. 81

3-2-1 شبكه لانه زنبوری h-BN……………………………………..

3-2-2 روش كلی…………………………………….. 83

3-2-2-1 ماتریس انتقال H……………………………………..

3-2-2-2 ماتریس همپوشانی S…………………………………….

3-3 نظریه تابعی چگالی…………………………………….. 87

3-4 نتایج انطباق طیف انرژی بین DFT و TB برای تك لایه و دو لایه بورن- نیترید……..88

فصل چهارم: مطالعه خواص الكترونی و اپتیكی دو لایه شش­ضلعی بورن- نیترید، نتایج

4-1 مقدمه……………………………………. 99

4-2 روش محاسبات……………………………………… 99

4-3 بررسی خواص الكترونی و اپتیكی……………….. 102

4-4 جمع‌بندی…………………………………….. 113

پیوست

فعالیتهای پژوهشی…………………………………….. 116

چکیده:

امروزه بطور گسترده‌ای نانو صفحات چند لایه شش­ضلعی بورن- نیترید، بعلت خواص الكترونی و اپتیكی بسیار جذاب آن­ها، بطور تجربی و نظری مورد مطالعه قرار گرفته­اند. هدف اصلی این پروژه بررسی خواص الکترونی و اپتیکی نانو ساختارهایی همچون، نانو صفحات بورن- نیترید، با استفاده از نظریه­های GW و BSE در محدوده پاسخ خطی می­باشد. در مبحث خواص الکترونی ما به محاسبه انرژی و ساختار نواری و طیف چگالی حالت شبه- ذرات خواهیم پرداخت. همچنین، از یك مدل بستگی قوی برای ساختار نواری تك- لایه و دو- لایه بورن- نیترید استفاده می­كنیم و شاخص­های جهش و انرژی­های جایگاهی را با استفاده از انطباق طرح بستگی قوی و داده­های نظریه تابعی چگالی بدست خواهیم آورد. در مبحث خواص اپتیکی، قسمت­ های حقیقی و موهومی (جذب اپتیکی) تابع دی­الکتریک، در اثر قرار دادن نانو صفحه در دو راستای میدان موازی (قطبش موازی) و میدان عمودی (قطبش عمودی)، و همچنین انرژی و اثرات  اکسیتونی و تابع توزیع احتمال الکترون در اثر قرار دادن مکان حفره در جایگاه ثابت، را بدست خواهیم آورد.

بنابراین، با توجه به این­که محاسباتی در زمینه­ تاثیر آثار بس- ذره­ای برای نانو صفحات چند لایه شش­ضلعی بورن- نیترید انجام نشده است، این نتایج برای مطالعات تجربی و نظری آینده روی این­چنین ساختارها می­تواند مفید باشد.

پیشگفتار:

در سال­های اخیر، پژوهش­های گسترده­ای در زمینه­ سامانه­های نانو ساختار انجام شده است، بخصوص با كوچك­تر شدن اجزای تشكیل دهنده­ی قطعات الكترونیكی، بررسی نانو ساختارها اهمیت زیادی در زمینه­ علوم و صنعت پیدا كرده است. خواص فیزیكی این نانو ساختارها، بویژه خواص الكترونی و اپتیكی آن­ها، به رفتار و حالت­های الكترونی آن­ها بستگی دارد. از این­رو، محاسبه حالت های الكترونی مواد و تعیین ساختار نواری انرژی در آن­ها از مهمترین مباحث پژوهشی نظری و تجربی در فیزیك ماده چگال است. با توجه به این كه  بطور کلی گاز الكترون در یك جامد یك سامانه برهم‌كنش­گر است، بنابراین راه حل اساسی برای محاسبه حالت­های الكترونی مواد به حل مسئله بس- ذره­ای منتهی می­شود. از این­رو، از آغاز پایه گذاری علم فیزیك ماده چگال، تلاش پژوهشگران بر این بوده است تا بعنوان یك تقریب، مسئله بس- ذره­ای گاز الكترون جامد را به یك مسئله قابل حل تبدیل نمایند. كلیه متون مربوط به زمینه ماده چگال و روش­های مختلف و گوناگون محاسبات ساختار نوارهای انرژی الكترونی جامدات، حكایت از به كارگیری انواع تقریب­هایی است كه برای حل معادله شرودینگر انجام می­شود. خوشبختانه علی­رغم تقریبی بودن روش­های بس­- ذره­ای، این روش­

ها موفقیت عملی فوق­العاده­ای را از خود نشان داده­اند و بنابراین در مواردی كه پیچیدگی­های ناشی از آثار برهم­كنش الكترون­ها در رفتار نهایی سامانه مؤثر باشند باید در حد امكان و با روش­های مختلف حداكثر آثار بس- ذره­ای را در محاسبات دخالت داد. در هر صورت باید توجه داشت که هر روش تقریبی گستره اعتبار خاصی دارد.

اما امروزه، هدف اغلب پژوهش­های نظری بر پایه مکانیک کوانتوم، در زمینه مباحث فیزیک ماده چگال و شیمی، یافتن برهم­کنش­های اصلی نمی­باشد بلکه پرداختن به حل معادله شرودینگر از یک تابع هامیلتونی مشهور است که از حل آن اطلاعات مفیدی حاصل می­شود. به­ هرحال این هامیلتونی یک مسئله بس- ذر­ه­ای را توضیح می­دهد و برای تعداد بیشتر از 10 الکترون، حل دقیق آن از لحاظ عددی عملاً امکان پذیر نیست. بعلاوه حل دقیق آن، شامل مجموعه­ای از اطلاعات است که بدون ساده­سازی و تجزیه و تحلیل، به سختی قابل فهم است و برای یک مسئله و شرایط مشخص حاوی تعداد زیادی جزئیات است، که احتمالاً مورد علاقه نیست [1]. بنابراین بازنویسی مجدد مسئله و کار با توابع هامیلتونی مؤثر یا مقادیر انتظاری انتخاب شده که برای حل یک مسئله کاهش یافته مناسب می­باشند، اغلب بهتر است. این روش بطور ایده­ال هم محاسبه و هم تجزیه و تحلیل مقادیر مدنظر را ساده خواهد نمود.

نظریه تابعی چگالی[1] (DFT) [2و3] یكی از متداول­ترین روش­هایی است كه برای محاسبات خواص حالت پایه طراحی شده است و بر پایه اطلاع از تابع چگالی n(r) بجای تابع موج بس- ذره­ای كامل از یك سیتم N ذره­ای پایه­گذاری شده است. مبانی نظریه DFT بر اساس نظریه هوهنبرگ-كوهن- شم [2] بصورت زیر است:

1- چگالی الکترونی حالت پایه از یک سامانه برهم­کنشی از الکترون­، می­تواند بطور کامل، پتانسیل خارجی­ v®، که الکترون­ها تجربه می­کنند و بنابراین هامیلتونی، تابع موج بس- ذره­ای، و همه کمیت­های مشاهده پذیر از سامانه، را تعیین ­کند.

2- یک تابعی F[n]وجود دارد بطوری­که انرژی کل E[n] می­تواند بصورت زیر نوشته شود:

(1-1)

این F یک تابعی عمومی است بطوری­که وابستگی تابعی­اش به چگالی برای همه سامانه­های با برهم­کنش ذره- ذره مشابه، یکسان است.

3. حالت پایه این سامانه را می­توان از طریق کمینه کردن تابعی انرژی کل E[n]برحسب چگالی بدست آورد.

معادلات كوهن- شم [2](KS) که در سال 1965 معرفی گردید، نظریه تابعی چگالی را به ابزاری خاص برای بدست آوردن چگالی حالت پایه تبدیل كرد. كوهن- شم سامانه برهم­كنش­گر واقعی را كه در آن تمام الكترون­ها به هم مربوط­اند و تحت تأثیر پتانسیل واقعی سامانه قرار دارند را با سامانه­ای غیر برهم­كنش­گر كه در آن ذرات در معرض پتانسیل مؤثری قرار می­گیرند، عوض كردند. با معرفی یك سامانه فرضی، سامانه کوهن- شم، شامل الكترون­های بدون برهم­كنشی و با اعمال یك میدان متوسط موضعی شامل پتانسیل هارتری، پتانسیل خارجی و برهم­كنش­های تبادلی- همبستگی[3](xc)، در روشی مشابه با روش هارتری- فوك به معادلات خود- سازگاری رسیدند كه با روش آن­ها چگالی حالت پایه سامانه محاسبه می­گردد. با قرار دادن این چگالی در تابعی انرژی، انرژی حالت پایه محاسبه می­شود. درطرح کوهن- شم، الکترون­ها ازیک معادله شروینگر تک- ذره­ای ساده با یک پتانسیل خارجی مؤثر v_KS پیروی می­نمایند:

(2-1)

اوربیتال كوهن- شم _iφ و ویژه مقادیر كوهن- شم _iε بدست آمده، بطور کلی دارای یک معنی و مفهوم فیزیکی مستقیمی نمی­باشند اما برای ساختن چگالی درستی از سامانه برهم­كنشی بر طبق رابطه زیر استفاده می­شوند:

(3-1)

با توجه به این­كه v_KS تابعی از چگالی الكترونی است، این معادلات باید بصورت خود سازگار حل شوند. پتانسیل مؤثر v_KS معمولاً بصورت زیر نوشته می­شود:

(4-1)

یک مطلب دیگر :

در این معادله، جمله اول پتانسیل خارجی، برهم­كنش كولنی بین الكترون­ها و هسته، می­باشد و جمله دوم شامل قسمت كلاسیكی برهم­كنش الكترون- الكترون (هارتری) می­باشد. پیچیدگی مسئله در پتانسیل همبستگی- تبادلی v_xc[n]® نهفته است كه بصورت v_xc[n]®=δE_xc[n]/δn® تعریف می­شود كه در آن E_xc[n] انرژی همبستگی- تبادلی است.

تقریب­های بسیار مؤثری برای محاسبه E_xc[n] بیان شده است، نظیر تقریب چگالی موضعی[4] (LDA) [3] یا تقریب گرادیان تعمیم یافته[5] (GGA) [4] و بسیاری از خواص حالت پایه نظیر پارامترهای شبكه یا فركانس­های فونونی، امروزه با استفاده از اصول اولیه با دقتی حدود چند درصد محاسبه می­شوند. با این وجود خاصیت­های حالت پایه­ای وجود دارند که حتی برای سامانه­های ساده بخوبی انجام نشده است. تنها حدود 10% از انرژی­های پیوندی در LDA محاسبه می­شوند و یا گزارش­های نادرستی كه برای خاصیت­های پاسخ استاتیك، همانند ثابت دی­الكتریك _∞ε، كه اغلب بطور قابل ملاحظه­ای زیاد محاسبه می­شوند، بیان شده است [5]. سامانه­های همبستگی قوی نیز مثالی است كه تقریب­های ذكر شده بالا قادر به توصیف خواص الكترونی و اپتیكی آن­ها نمی­باشند [6]. این­چنین مسئله­هایی در محاسبه خاصیت­های حالت پایه، در اعتبار استفاده از تقریب­های بكارگیری شده، محدودیت­هایی ایجاد می­كند.

نکته مهم دیگر از حالت پایه مربوط به نظریه تابعی چگالی كوهن- شم، برانگیختگی­ها (پاسخ اپتیكی به میدان الكتریكی وابسته به زمان) می­باشند كه در این نظریه قابل دسترس نیستند. البته هیچ اشكالی به تقریب­های موجود وارد نیست، بلكه واقعیت این است كه نظریه تابعی چگالی برای توصیف ­چنین پدیده­هایی کارآمد نیست. در حقیقت، حتی اگر بتوانیم ویژه مقادیر كوهن- شم را بصورت دقیق محاسبه كنیم، اختلاف آن­ها لزوماً نزدیك به انرژی­های برانگیخته اندازه­گیری شده، نخواهد بود و دوم این­كه آن­ها برای انرژی الكترون­های اضافه شده یا حذف شده هیچ توضیحی ندارند. بنابراین شکاف انرژی كوهن- شم در گزارشات عمومی نسبت به شکاف­های انرژی اندازه­گیری شده، بسیار كوچك است كه این به تقریب­های انتخاب شده برای پتانسیل­های همبستگی- تبادلی وابسته است. اگر بخواهیم با یك هامیلتونی مؤثر كه بتواند ویژه مقادیر را برای انرژی الكترون­های اضافه شده به سامانه یا حذف شده از آن، یا بعبارت دیگر انرژی­های برانگیختگی، تعیین کند کار کنیم، اطلاع از چگالی حالت پایه کافی نیست. برای این منظور دو رهیافت ویژه را مورد توجه قرار می­دهیم:

ابتدا، چگونگی انتشار و نوسانات ذرات در سامانه مورد نظر را بررسی می­کنیم كه منجر به پیدایش توابع همبسته مرتبط با توابع پاسخ می­شود (همانند پاسخ خطی برای جذب اپتیكی) بطوری­که این توابع همبسته، توابع گرین تك ذره، دو ذره و یا مراتب بالاتر هستند. با استفاده از تابع گرین تك- ذره­ای كه مربوط به انتشار الكترون یا حفره است، می­توان انرژی الكترون اضافه شده یا حذف شده را اندازه­گیری كرد. بعنوان مثال می­توان به آزمایشات اندازه­گیری مستقیم و معكوس تابش نور به ماده اشاره کرد[6]. علاوه بر این انرژی­های برانگیختگی را می­توان از قسمت حفره- ذره­ی تابع گرین دو‌ ذره‌ای، كه به سهم خود قطب­هایی در انرژی­های برانگیختگی دارد، بدست آورد. بخش کاهش­پذیر از تابع چهار- نقطه­ای L(r, r₁, r´, r₁´) مربوط به تابع گرین دو- ذره­ای، منجر به تابع پاسخ دونقطه‌ای  (r, r´, ω)χ می­شود كه طیف قابل اندازه­گیری، همانند طیف جذب و یا طیف اتلاف انرژی الكترون[7](EELS) را مشخص می­كند. نظریه اختلال بس- ذره­ای[8] (MBPT)، چارچوبی از تقریب­های مناسب برای این­چنین توابع گرین، كه قابل دست­یابی هستند، ارائه می­دهد. بطور خاص تقریب GW، كه در سال 1965 بوسیله لارس هدین[9] [7] معرفی شد، بصورت بسیار موفق انرژی الكترون­های اضافه شده یا حذف شده برای فلزات، نیمرساناها و نارساناها را توصیف می­كند و بنابراین یكی از روش­های مورد انتخاب برای توصیف آزمایش­هایی همچون اندازه­گیری مستقیم و معكوس تابش نور به ماده می‌باشد. در خصوص برانگیختگی­های طبیعی، معادله بته – سالپیتر[10](BSE)، نقطه شروع خوبی برای تقریب­هایی از χ [11-8] خوهد بود. بنابراین، برای یك توصیف كامل و درك فیزیكی قابل اطمینان از یك سامانه برهم­كنش­گر، بعلت ظاهر شدن توابعی نظیر L(r, r₁, r´, r₁´) كه مهمترین خاصیت آن­ها غیر جایگزیده بودن آن­هاست، بجای توابع جایگزیده n(r)، هزینه بالای محاسباتی باید پرداخت شود.

دومین راه، محاسبه تحول زمانی تابعی چگالی برای سامانه­ای است كه در معرض یك پتانسیل خارجی وابسته به زمان قرار گرفته است. تابع پاسخ χ، برای مثال، بطور مستقیم از رابطه پاسخ خطی بین تغییرات پتانسیل خارجی و چگالی القاء شده بدست می­آید . این روش باعث تعمیم نظریه تابعی چگالی به نظریه تابعی چگالی وابسته به زمان[11](TDDFT) [16- 12] می­شود. با مبنا قرار دادن نظریه رانگ- گراس[12]، می­توان بطور مستقیم خط سیر مکانیک کوانتومی در TDDFT از سامانه تحت تاثیر توسط پتانسیل خارجی وابسته به زمان را، از طریق بررسی کمیت مورد نظر در بینهایت (به جای به کمینه رسانیدن انرژی کل، آن­طوری که برای حالت پایه انجام شد)، مشابه با مکانیک کلاسیک، بدست آورد. بنابراین می­توان معادلات کوهن- شم وابسته به زمان را بصورت تعمیمی از حالت استاتیک بدست آورد و از آن­ها توابع پاسخ توضیح دهنده برانگیختگی­های طبیعی سامانه را محاسبه کرد. در این حالت، مشکل پیدا کردن تقریب­های مناسب برای پتانسیل همبستگی- تبادلی وابسته به زمان v_xc[n](r,t) می­باشد. باید توجه داشت که وابستگی تابعی به چگالی در کل فضا و در همه زمان­های گذشته می­باشد. تقریب­های زیادی برای سامانه­های محدود پیشنهاد و امتحان شده­اند. حتی تقریب بسیار ساده چگالی موضعی بی­درو[13](ALDA که می­توان آن­ را LDA وابسته به زمان نیز نامید) که بصورت  داده می­شود، در بسیاری از موارد بسیار موفق بوده است [12و 17].

امروزه، استفاده از روش­هایی نظیر GW ، BSE و TDDFT بطور مداوم در حال گسترش است که در آن برهم­کنش­ها مهم می­باشند. البته حل مستقیم معادله شرودینگر امکان­پذیر نمی­باشد. پژوهش حاضر حاوی مرور و بررسی روش­های MBPT، GW و BSE، برای سامانه­های پیچیده درزمینه­های نانوفناوری، ذخیره داده­ها و الکترونیک نوری[14] می­باشد.

فصل اول: نظریه تابعی چگالی

1-1- نظریه تابعی چگالی

از آنجایی­که پژوهش حاضر مربوط به شبیه­سازی نظری سامانه­های واقعی مورد استفاده در فن‌آوری­های قابل سنجش می­باشد، از روش­های بكارگیری شده و مؤثر برای موفقیت این مطالعه استفاده می­كنیم. برای درك خواص حالت پایه الكترونی سامانه، از روش محاسبات اولیه[1] بر پایه نظریه تابعی چگالی (DFT) بهره گرفته­ایم. گرچه كارآیی نظریه تابعی چگالی شناخته شده است اما برای در نظر گرفتن خصوصیت­های حالت برانگیخته، مربوط به برانگیختگی­های طبیعی و بار نظیر انتشار و جذب اپتیکی، مجبور به استفاده از نظریه اختلال بس- ­ذره­ای(MBPT) خواهیم بود.

بنابراین این بخش و بخش بعدی را با خلاصه­ای از بعضی ویژگی­های مهم و البته شناخته شده مربوط به روش­های DFT و MBPT مورد استفاده در كدهای كامپیوتری، برای سامانه مورد نظر دنبال می‌كنیم.

1 Ab initio

1 Density-Functional Theory

2 Kohn-Sham

1 Exchange- correlation

2 Local Density Approximation

3 Generalized Gradient Approximations

1 Direct and inverse photoemission

2 Electron energy loss spectra

3 Many-body perturbation Theory

4 Lars Hedin

1 Bethe-Salpeter Equation

2 Time-Dependent Density-Functional Theory