ابتدا تاریخچه­ای مختصر از مدول­های درون­بر^[1]، هم­درون­بر^[2]، ­درون­بر­پوشا^[3] و هم­درون­­­پوشا^[4] ارائه

­می­دهیم. اولین باردرسال1979 توسط خوری^[5] مفهومی به نام مدول­های­درون­بر معرفی شد. R – مدول M درون­بر گفته ­می­شود هرگاه به­ازای­ هر زیر­مدول غیرصفرN از M ، داریم :

Hom_R(M,N)¹ 0. درسال­های ­بعد مفهوم درون­بری توسط مولفان دیگرازجمله ژئو^[6]، ریزوی^[7]­و رومن^[8] واخیراً توسط­اسمیت⁹، حقانی­ و ودادی مورد تحقیق و بررسی قرارگرفته ­است. سپس در سال2007 مفهوم­دوگانی از درون­بری به نام هم­درون­بری توسط امینی، ارشاد و شریف ارائه شد.

مدول M هم­درون­بر گفته ­می­شود هرگاه به ­ازای­ هر زیر­مدول سرهN  از  M، داشته باشیم :

Hom_R(M/N , M) ¹ 0 . سپس مفهوم مدول­های درون­بر­پوشا توسط قربانی و ودادی در سال 2009 ارائه شد که توسیعی از مفهوم حلقه­ pri  می­باشد.

حلقه R، حلقه­ ایده­آل­ راست اصلی یا به اختصار حلقه­ pri ، نامیده ­می­شود ­هرگاه، هر ایده­آل راست آن اصلی باشد. توسیع این مفهوم در مدول­ها درون­برپوشایی نامیده ­شده­است.

یک R- مدول ­راست M درون­برپوشا گفته­ می­شود هرگاه به ­ازای­ هر زیر­مدول غیرصفر N از M همریختی غیرصفرپوشایی از M  به N موجود باشد. بنابر قضیه اول یکریختی و با توجه به این

نکته که  یک مدول اصلی یکریخت با  R/Iاست ، حلقه R یک حلقه­ pri  است اگر و تنها اگر مدول R_R درون­برپوشا باشد. دوگان این مطلب به­نام هم­درون­برپوشایی توسط قربانی ارائه شده­است. R – مدول M هم­درون­برپوشا گفته­ می­شود هرگاه به ­ازای­ هر زیر­مدول سره N از M  همریختی غیرصفر یک ­به ­یکی از M/N  به M موجود باشد.

در این پایان­نامه مفهوم هم­درون­بر­پوشایی، قضایای مربوطه و دوگان­ آن تحقیق می­شود که برگرفته از مرجع ]3[ می­باشد.

1-2. تعاریف وقضایای مقدماتی

در سراسر این پایان­نامه حلقه­ها شرکت­پذیر و یکدار می­باشند. (تمام مدول­ها مدول راست می باشند.) درابتدا یادآوری، سپس تعاریف اولیه و بعد قضایای مقدماتی به صورت نکته و لم بیان می­شود.

یادآوری

فرض­کنید R یک حلقه باشد.R  – مدول M را ساده گویند اگر زیرمدول غیربدیهی نداشته باشد. مدول M نیم­ساده نامیده ­می­شود اگر هر زیرمدولش یک جمعوند آن باشد.

زیرمدول L از M اساسی ­نامیده ­می­شود و می­نویسیم ­Lv_ess M هرگاه به ­ازای هر  N £ M اگر L ∩ N = 0 ، آنگاه =0 N . به­طور معادل L v_ess M  اگر و تنها اگر به ­ازای­ هر عنصر

 ناصفر xÎM ، rÎR موجود باشد به­طوری­که  0 ¹ xrÎ L .

زیرمدول K از M زاید ­نامیده­ می­شود و می­نویسیم K<< M ، ­هرگاه به ­ازای هر  N £ M  اگرK + N = M   آنگاه = M  N.

فرض کنید M  یک R- مدول راست باشد، X زیرمجموعه­ای از M و Y هم زیرمجموعه­ای از R ، پوچساز راست X در R  با r_R (X) و پوچسازچپ Y در  M با l_M (Y)  نمایش داده­  می­شود و تعریف می­کنیم :

r_R (X) = { r Î R : X r = 0 }            l_M (Y) ={ m Î M : mY = 0 }

همچنین برای S- مدول چپ N ، r_N (Z) وl_S (W)  به­طور مشابه برای هر Z Í S و هر

W Í N به صورت زیر تعریف می­شود :

r _N  (Z) ={ n Î N : Z n = 0 }           l _S (W) = { s Î S : sW = 0 }

اگر  X = {a}، آنگاه پوچساز راست آن با  r_R (a )  نشان داده­ می­شود و داریم :

r_R (a)= r_R (X) و نیز   l_R (a)= l_R (X).

یک مطلب دیگر :

با استفاده از قضیه 2-15 از مرجع [1] نتایج زیر را داریم :

اگر A و B دو زیرمجموعه R – مدول راست M  باشند و AÍ B آنگاه r_R (B) Í r_R (A) . بوضوح Í l_M (r_R (A)) A و می­توان نتیجه گرفت (A))) Í r_R (A)  r_R (l_M (r_R . از سوی دیگر با قرار دادن  C= r_R (A)درC Í l_M (r_R ©) (به­ازای هرC Í R) داریم :

r_R (A) Í r_R(l_M (r_R (A)))پس (A))) Í r_R (A)  r_R (l_M (r_R ؛

در نتیجه(A))) = r_R (A)  r_R (l_M (r_R .

به طریق مشابه اگر I و J دو زیرمجموعه R باشند و I Í J ، آنگاه l_M (J) Í l_M (I)  . بوضوح

I Í r_R (l_M (I)) و می­توان نتیجه گرفت :  l_M (r_R (l_M (I)))=l_M (I) .

اگرM یک R -مدول و U یک کلاس از R – مدول­ها باشدTr (M ,U ) و Rej (M, U ) به­ صورت زیر تعریف می­شوند که زیرمدول­هایی از M می­باشند.

Tr (M ,U )=å { Im f | f : u_a →  M  ,   u_aÎ U برای برخی }

Rej (M, U )=∩ {ker f | f : M →  u_a  ,    u_aÎU  برای برخی }

اگر S مجموعه تمام R – مدول­های راست ساده باشد، به ­ازای هر R – مدول M،Soc (M_R)    بزرگترین زیرمدول نیم­ساده M است و با توجه به بخش 9 از مرجع [1]  به صورت زیر تعریف می­شود :

Soc(M_R) = Tr (M ,S) = å {K | است M یک زیرمدول ساده از K }

= ∩ { L | L v_ess M }.

همچنین  R –  مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر  soc(M_R) = M_R .

ضمناً به سادگی دیده­ می­شود R –  مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر زیرمدول اساسی غیر بدیهی نداشته ­باشد.

R      – مدول M پروژکتیو نامیده ­می­­شود هرگاه به ­ازای هر نمودار از R- همریختی­ها و  R- مدول­ها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد ، R- همر­یختی→ A    M موجود باشد به­طوری­که نمودار زیر جابجایی باشد.

1-2-1. R –  مدول پروژکتیو M

یا به­طور معادل اگر هر دنباله دقیق کوتاه به صورت A→ B→ M → 0 0 →  شکافته شود ، آنگاه M پروژکتیو است.

R     – مدول M انژکتیو نامیده­ می­­شود هرگاه به­ ازای هر نمودار از R- همریختی­ها  و R- مدول­ها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد، R – همر­یختی→  M   B موجود باشد به­طوری­که نمودار جابجایی باشد.

1-2-2. R –  مدول انژکتیو M

همچنین R – مدول M انژکتیو است هرگاه به ازای هرایده­آل راست I از R ، هر همریختی

f : I→ M  را بتوان از R به M گسترش داد. (لم بئر)

1-2-3. R –  مدول انژکتیوM  (لم بئر)

تعاریف و قضایای زیر برای حلقه­ها و مدول­های راست بیان می­شود و به­طور مشابه برای مدول­های چپ نیز برقرار است.

تعریف 1-2-1. حلقه R، خود- انژکتیو راست نامیده­ می­شود، هرگاه R_R انژکتیو باشد.

تعریف 1-2-2. حلقه R، حلقه انژکتیو اصلی راست یا به ­اختصار P- انژکتیو راست نامیده­ می­شود، هرگاه به ­ازای هر aÎR  هر R – همریختی f :aR→ R_R    را بتوان به R– همریختی

:R_R→  R_R     گسترش داد .

تعریف1-2-3 . مجموعه عناصر منفرد R- مدول راست M  را با Z(M_R )  نشان می­دهیم  و تعریف می­کنیم :