که در آن از روابط و استفاده می کنیم.

به طور مشابه را که مبین هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان تابشی است، می توان به صورت زیر نوشت:

(1-8)

که در آن  عنصر ماتریسی گشتاور دو قطبی الکتریکی و میدان تابشی است. در اینجا فرض کردیم که میدان الکتریکی به طور خطی در راستای محور  قطبیده شده است. در تقریب دو قطبی الکتریکی میدان را می توان به فرم زیر بیان کرد:

(1-9)

در رابطه فوق  دامنه و  فرکانس میدان است.

برای حل معادله شرودینگر به شرایط اولیه نیاز داریم. اگر اتم را در حالت اولیه فرض کنیم،  خواهد بود. حال با استفاده از معادله شرودینگر ، معادلات حرکت برای دامنه های    و   را می توان به فرم زیر نوشت:

(1-10)

(1-11)

عنصر ماتریسی عملگر دو قطبی به صورت  است. در اینجا فرض می کنیم که عناصر قطر اصلی ماتریس عملگر دو قطبی صفر باشند، به عبارتی  . حال با استفاده ازتبدیل  که مبین حالت سیستم در تصویر برهم کنش است.

معادلات حرکت  برای دامنه های متغیر را به صورت زیر می نویسیم:

(1-12)

(1-13)

با جایگذاری روابط فوق درمعادلات (1- 10 )  و (1-11) خواهیم داشت:

(1-14)

( 1-15)

که در آن   فرکانس گذار اتمی و   نامیزانی فرکانسی¹ است. در استخراج معادلات فوق جملات غیر چرخان متناسب با  را در تقریب موج چرخان نادیده گرفته ایم که درکل تقریب خوبی است.

برای حل معادلات (1-15) و (1-16) از تبدیل لاپلاس استفاده می کنیم. فرض کنید

(1-16)

تبدیل لاپلاس  باشد، در این صورت با استفاده از تبدیل لاپلاس

(1-17)

(1-18)

روابط زیر به دست می آیند:

(1-19)

(1-20)

رابطه (1-20) را می توان به فرم زیر ساده کرد:

(1-21)

با جایگذاری رابطه(1-19) در رابطه (1-21) خواهیم داشت:

(1-22)

(1-23)

که در آن فرکانس رابی  به صورت

(1-24)

یک مطلب دیگر :

تعریف می شود. با محاسبات ریاضی ساده در می یابیم که ریشه های مخرج رابطه فوق به صورت زیر هستند:

(1-25)

و بنابراین رابطه (1-23)  به صورت زیر در می آید:

(1-26)

با بازنویسی رابطه فوق به صورت

(1-27)

و با استفاده از تبدیلات معکوس لاپلاس  به دست می آید:

(1-28)

برای محاسبه  از رابطه زیر شروع می کنیم

(1-29)

با جایگذاری رابطه(1-20) در رابطه (1-29) خواهیم داشت:

(1-30)

(1-31)

حال اگر مراحل استفاده شده در به دست آوردن    را به ترتیب برای  نیز اعمال کنیم به صورت

(1-32)

(1-33)

(1-34)
(1-35)

به دست می آید.

با تعریف  به صورت

(1-36)

دامنه های احتمال  و  به صورت

(1-37)

(1-38)

به دست می آیند. در حالت خاصی که اتم در حالت تشدید با میدان تابشی است :

(1-39)

از رابطه ( 1-36) خواهیم داشت:

(1-40)

بنابراین دامنه های احتمال به صورت زیر ساده می شوند:

(1-41)