2-1-3   کروشه دیراک…. 30
2-2    کوانتش سیستم های مقید. 30
2-3    کوانتش میدان کلین گوردون در حجم محدود با استفاده از قیود دیراک     32
2-3-1   حل معادله میدان کلین گوردون. 32
2-3-2   کوانتش دستگاه بدون حل معادلات حرکت… 33
2-3-3     محاسبه میدان کلین گوردون با شرط مرزی نویمان. 37
2-4   کوانتش میدان الکترومغناطیس با استفاده از قیود دیراک در حجم محدود  37
2-4-1   اصول کار. 37
2-4-2   کوانتش میدان الکترومغناطیسی.. 38
2-4-3    تعریف شرایط مرزی و محاسبه قیود. 39
2-4-4    اعمال قیود بر بسط مولفه های میدان. 41
فصل سوم خلاء الکترومغناطیسی.. 42
3-1    معرفی.. 43
3-2     نوسانگر هارمونیک…. 43
3-3     رابطه مدهای میدان و نوسانگر هارمونیک…. 45
3-4   کوانتش مدهای میدان. 46

3-5     میدان در فضای آزاد. 47
3-6    ضرورت میدان خلاء. 49
3-7   اثر کازیمیر. 50

فصل چهارم نیروی کازیمیر برای میدان های اسکالر و الکترومغناطیس.. 54
4-1     میدان اسکالر کوانتیده در فاصله محدود. 55

4-1-1   منظم سازی میدان اسکالر با تابع نمایی.. 56
4-1-2     منظم سازی میدان اسکالر با تابعی دیگر. 58
4-2     نیروی کازیمیر برای میدان الکترو مغناطیس…. 59
4-2-1       صفحات رسانای موازی.. 59
4-2-2     به دست آوردن نیروی کازیمیر میدان الکترو مغناطیسی با استفاده از روش بررسی سازگاری قیود  62
4-3   فشار تابشی خلاء: توضیح فیزیکی نیروی کازیمیر. 66
فصل پنجم نیروی کازیمیر برای یک ریسمان باز 68
5-1   ریسمان باز در حضور میدان مغناطیسی B.. 69
5-2   معادلات میدان، شرایط مرزی و قیود ریسمان. 70
5-3   انرژی نقطه صفر ریسمان. 75
5-4   منظم سازی انرژی نقطه صفر و محاسبه نیروی کازیمیر. 76

یک مطلب دیگر :

5-5   حالت کلی دیگر. 77
5-6   نتیجه گیری.. 78
مراجع. 79
چكیده
هدف اصلی این پایان نامه پیوند بین دو مبحث دستگاههای مقید و اثر كازیمیر می باشد. نقطه مشترك این دو مبحث مهم را می توان در شرایط مرزی یافت. در این تحقیق برای به دست آوردن نیروی کازیمیر میدان های كلین گوردون، الكترومغناطیس و ریسمان باز، از روش كوانتش سیستم های مقید با در نظر گرفتن شرایط مرزی به عنوان قیود استفاده شده است. برای این منظور پس از محاسبه سازگاری قیود مذكور با هامیلتونی کل و اعمال زنجیره کامل قیود بر بسط فوریه مولفه های میدان مد های غیر فیزیکی حذف شده و به فضای فاز کاهش یافت دست می یابیم. سپس با تبدیل كروشه دیراك مدهای باقی مانده به جابه جا گر، سیستم را كوانتومی می کنیم و عملگر انرژی را بر حسب مدهایی فیزیکی بیان می کنیم. منشا اثر کازیمیر در مقایسه مدهای حاضر در عملگر انرژی دستگاه دارای شرایط مرزی با دستگاه بدون مرز است. به بیان دیگر نشان می دهیم که اعمال قیود ناشی از شرایط مرزی منجر به حذف برخی از مدها و ظهور نیروی کازیمیر می شود.
کلمات کلیدی: اثرکازیمیر، دستگاه های مقید، شرایط مرزی، کروشه دیراک.

پیش گفتار

0-1   پیدایش اثر كازیمیر
از زمان انتشار مقاله معروف كازیمیر[1] مشخص گردیده است كه تغییر در طیف افت و خیزها (چه کوانتومی و چه گرمایی) توسط مرزهای خارجی سبب ایجاد نوعی بر هم كنش می شود. اثر كازیمیر، در ساده ترین حالت، نیروی جاذبه بین دو صفحه صاف رسانای موازی است كه منشاء آن تغییر حالت خلاءالكترومغناطیسی توسط مرزها می باشد. اگر بخواهیم در یك عبارت ساده منشاء ایجاد نیروی كازیمیر را شرح دهیم باید بگوییم كه: شرایط مرزی،‌ طیف میدان كوانتومی ‌خلاء را تغییر می دهد و این تغییر طیف سبب پیدایش نیروی كازیمیر می شود.
اثر كازیمیر یكی ازنتایج اصلی الكترودینامیك كوانتومی (QED) است. توجیه این نیرو فقط در قالب الكترودینامیك كوانتومی امکان پذیر است و هیچ گونه تفسیر كلاسیكی از آن نمی توان یافت، به عبارت دیگر در حد كلاسیك(0ħ→) نیروی كازیمیر برابر با صفر می شود[2].
این اثر شامل نیرویی می شود كه نه می توان آن را اثر بار، ‌نه گرانش و نه رد وبدل كردن ذرات بین دو جسم دانست. یك كمیت فیزیكی مهم در بحث نیروی كازیمیر فشار تابش میدان است. در غیر از حالت تشدید،‌ فشار تابش داخل حفره كوچك تر از بیرون است و صفحه ها به طرف یكدیگر جذب می شوند و چون ثابت شده است كه در حالت تعادل ، مولفه های جاذبه كمی قوی تر از مولفه های دافعه هستند بنابراین برای دو

صفحه تخت كاملا موازی نیروی كازیمیر از نوع جاذبه است.
گر چه این نیرو فقط در فاصله های چند میكرونی قابل اندازه گیری است و مقدارش خیلی كوچك است ولی در فاصله های زیر میكرومتر، ‌قوی ترین نیروی بین دو جسم طبیعی به شمار می رود. هر چند ما در زندگی خود به طور مستقیم با این قبیل فاصله های كوچك سروكار نداریم اما اهمیت این فاصله ها در نانوساختارها و سیستم های میكروالكترومكانیكی (MEMS) مشخص می شود[3]. MEMS قابلیت های فراوان كاربردی در علوم مهندسی دارد و یكی از عمده ترین موارد استفاده آن در حال حاضر در سنسورهای فشار كیسه هوای اتومبیل ها است. از آن جا كه قطعات MEMS در ابعاد میكرون و زیر میكرون ساخته شده اند، ‌نیروی كازیمیر باعث اتصال عناصر كوچك این قطعات خواهد شد. این اثر را می توان به نوعی از طریق فرضیه انرژی نقطه صفر (Zero Poin Energy) یا انرژی خلاء نیز بیان كرد. انرژی نقطه صفر به كوچك ترین انرژی امكان پذیر در یك سیستم مكانیك كوانتومی گفته می شود واگر بخواهیم رابطه آن را با نیروی كازیمیر بیان كنیم باید بگوییم كه : نیروی كازیمیر مشهورترین اثر مكانیكی نوسانات خلاء است.

0-2   هدف كلی
پس از آن که بحث دستگاه های مقید و کوانتش لاگرانژی های تكین نخستین بار توسط دیراك و برگمن مطرح شد، مقالات و مطالعات زیادی در این مورد و كوانتش آنها انجام شد. با توجه به آنكه كوانتش این دستگاهها با اعمال قیود روی فضای حالتها انجام می شود، (كه در مورد قیود نوع اول روی فضای حالت نرمال و در مورد قیود نوع دوم در فضای فاز كاهش یافته اعمال می شود)، از كروشه های دیراك به جای كروشه های پواسون باید استفاده کرد و سپس آنها را به جای جابه جاگرهای كوانتومی تبدیل کرد.
در پایان نامه [4]، كوانتش میدان های اسكالر و الكترومغناطیس به طور كامل مورد بحث قرار گرفته است. در این پایان نامه از نتایج مرجع[4] استفاده کرده و پس از در نظر گرفتن شرایط مرزی برای هر میدان به عنوان قیود دیراک و بررسی سازگاری آنها و به دست آوردن هامیلتونی و همچنین با استفاده از کروشه های دیراک به جای کروشه های پواسون، مؤلفه های میدان محاسبه شده است. سپس با استفاده از مؤلفه های میدان به دست آمده و هم ارزی این معادلات میدان با انرژی میدان و هم چنین اعمال ویژه بسامدها، انرژی خلاء را از جمع روی همه مدهای بردار موج و طول موج به دست می آوریم كه به مقدار نامتناهی ω ħ می رسیم. برای متناهی كردن این مقدار از چندین تکنیک منطم سازی(تابع نمایی ، تابع زتای ریمان و تابع قطع) استفاده می كنیم. در نهایت از اختلاف انرژی خلاء فیزیكی( اعمال شرایط مرزی) و انرژی خلاء آزاد (بدون در نظر گرفتن شرایط مرزی) انرژی كازیمیر را به دست می آوریم. یعنی: